Линейная модель

Линейная модель [linear model] — модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней принимаются линейными (см. Линейная зависимость, Линейность в экономике). Соответственно, она может формулироваться в виде одного линейного уравнения или системы линейных уравнений. Причем в ряде случае нелинейность взаимозависимостей может приводиться к линейной форме путем математических преобразований переменных; например, в нелинейных соотношениях

в первом и втором случаях логарифмирование обеих частей уравнений обеспечивает связь линейную в логарифмах: ln y = ln α + β x; ln y = ln α + β ln x, а в третьем — линейно зависимы  y и 1/x.

Л.м., учитывающую стохастику, в общей форме можно записать так:

y_i =  a_i + βx + u_i   .

В этой «регрессионной линейной модели» [linear regres­sive model] приняты следующие обозначения: свободный член  a  и вектор  β — параметры,   u — случайная ошибка, математическое ожидание которой равно нулю; x — вектор переменных x_i, идентифицированных как оказывающие воздействие на переменную y (т.е. управляющих переменных). Применяется также иная система обозначений: переменная величина Х называется объясняющей (независимой) переменной; переменная Y — объясняемой (зависимой) переменной, u — остаток, равный разнице между между фактическими значениями и значениями модели. (См. Регрессионный анализ).

Л.м. в виде системы уравнений в  общей форме записывается:

y_i = α_i+ Bx_i   + u_i   ,

где y_i —  зависимая переменная, B ≡ [β_ij ] — матрица параметров модели, x_i  — вектор управляющих переменных в i-м уравнении.